Question

在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC，交x軸于點B。
（1）求直線CB的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點在直線BC上，與x 軸的交點恰為點E、F，求該拋物線的解析式；
（3）試判斷點C是否在拋物線上？
（4） 在拋物線上是否存在三個點，由它構成的三角形與△AOC相似？直接寫出兩組這樣的點．

Answer 1

解：（1）連接AC，則AC⊥BC， ∵OA=2，AC=4， ∴OC=， 又∵Rt△AOC∽Rt△COB， ∴， ∴OB=6， ∴點C坐標為（0，），點B坐標為（-6，0）， 設直線BC的解析式為y=kx+b，可求得直線BC的解析式為； （2）由題意得，⊙A與x軸的交點分別為E（-2，0）、F（6，0）， 拋物線的對稱軸過點A為直線x=2， ∵拋物線的頂點在直線BC上， ∴拋物線頂點坐標為（2，）， 設拋物線解析式為y=a（x-2）2+， ∵拋物線過點E（-2，0）， ∴0=a（-2-2）2+，解得a=-， ∴拋物線的解析式為y=-（x-2）2+， 即； （3）點C在拋物線上，因為拋物線與y軸的交點坐標為（0，），如圖； （4）存在，這三點分別是E、C、F與E、C′、F，C′的坐標為（4，），即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如圖。