Question

如圖，⊙O′與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，圓心O′的坐標為（1，-1），半徑為

5

．
（1）求A，B，C，D四點的坐標；
（2）求經(jīng)過點D的切線解析式；
（3）問過點A的切線與過點D的切線是否垂直？若垂直，請寫出證明過程；若不垂直，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）過O′作O′H⊥x軸于H，連接OB，在Rt△O′BH中，由O′的坐標可得出O′H的長，即可由勾股定理求得BH的長，進而可由垂徑定理求出OA的長，即可得到A、B的坐標；同理可求出C、D的坐標；
（2）設過D的切線交x軸于E，設EA=x，即可表示出OE、EB的長；可分別用切割線定理及勾股定理得出DE²的表達式，聯(lián)立兩式即可求出x的值，也就得到了E點的坐標；進而可利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式；
（3）由（1）易得AB=CD，則弧AB=弧CD，由弦切角定理即可得到∠NAO=∠MDN；而∠NAO與∠ANO互余，則∠MDN也與∠ANO互余，由此得證．

解答：解：（1）連接O'B，過點O'分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、如圖
∵BH=

O′B2-O′H2

=2，
∴OB=3，
∴點B的坐標為（3，0）；（1分）
∵AH=BH=2，OH=1，
∴點A的坐標為（-1，0），（2分）
類似地，可得到點C、D的坐標分別為（0，1），（0，-3）；（4分）

（2）設過點D的切線交x軸于點E，EA=x，
則DE²=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE²=EO²+DO²=（x+1）²+3²，
∴（x+1）²+3²=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，點E的坐標為（-6，0）；（7分）
設所求切線的解析式為y=kx+b，因為它經(jīng)過（0，-3）和（-6，0）兩點，
則

b=-3 -6k+b=0

解得

k=- 1 2 b=-3

∴所求解析式為y-

1

2

-3；（8分）

（3）答：過點A的切線與過點D的切線互相垂直．證明如下：（9分）
證明：設過點A的切線與DE相交于點M，與y軸相交于點N；
∵AB=CD=4，即有

AB

=

CD

∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴過點A的切線與過點D的切線互相垂直．（11分）

點評：此題主要考查了垂徑定理、勾股定理、一次函數(shù)解析式的確定、切線的性質、切割線定理、弦切角定理等知識的綜合應用能力，綜合性較強，難度較高．