Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與⊙O相切于點D，弦DF⊥AB于點E，線段CD=10，連接BD

（1）求證：∠CDE=2∠B

（2）若BD：AB=：2，求⊙O的半徑及弦DF的長

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：連接OD．

∵直線CD與⊙O相切于點D，

∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°．

又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．

∴∠EOD+∠ODE=90°，

∴∠CDE=∠EOD． 

又∵∠EOD=2∠B，

∴∠CDE=2∠B．

（2）解：連接AD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∵BD：AB=：2，

∴在Rt△ADB中cosB=，

∴∠B=30°． 

∴∠AOD=2∠B=60°．

又∵∠CDO=90°，

∴∠C=30°． 

在Rt△CDO中，CD=10，

∴OD=10tan30°=，

即⊙O的半徑為． 

在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，

∴DE=CDsin30°=5． 

∵DF⊥AB于點E，

∴DE=EF=DF．

∴DF=2DE=10．         

【解析】（1）連接OD，根據(jù)弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所對的圓心角是圓周

角的2倍，可得∠CDE=2∠B；

（2）連接AD，根據(jù)三角函數(shù)，求得∠B=30°，則∠EOD=60°，推得∠C=30°，根據(jù)∠C的正切值，求出圓的半徑，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，從而得出DF的長．