Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x、y軸上，當(dāng)A點從原點開始在x軸正半軸上運動時，點C隨著在y軸正半軸上運動．
（1）當(dāng)A點在原點時，求原點O到點B的距離OB；
（2）當(dāng)A點在x正半軸向右運動，點C隨著在y軸正半軸運動至O點，在平面上有一點P，使△ACP為等邊三角形，求點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)OA=OC時，求原點O到點B的距離OB．

Answer 1

解：（1）如圖，A點在原點時，OB=，
=，
=2；

（2）如圖，點C運動至點O，過點P作PD⊥AC于D，
∵△ACP是等邊三角形，
∴CD=AC=×4=2，
PD=PC=×4=2，
點P在x軸上方時，P₁（2，2），
點P在x軸下方時，P₂（2，-2）；

（3）過點B作BE⊥y軸于E，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，OC=4×=2，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=180°-90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=2×=，
∴OE=2+=3，
在Rt△BOE中，OB===2．
分析：（1）根據(jù)勾股定理列式計算即可得解；
（2）過點P作PD⊥AC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CD、PD，然后分點P在x軸上方和下方兩種情況討論求解；
（3）過點B作BE⊥y軸于E，判斷出△AOC和△BCE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE、BE，然后求出OE的長，利用勾股定理列式計算即可得解．
點評：本題考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，讀懂題目信息理解所求時刻的三角形的形狀是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．