Question

如圖所示，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），以AB為直徑作⊙M，過拋物在線一點(diǎn)P作⊙M的切線PD切點(diǎn)為D，并與⊙M的切線AE相交于點(diǎn)E，連結(jié)DM并延長交⊙M于點(diǎn)N，連結(jié)AN、AD。
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若四邊形EAMD的面積為，求直線PD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物在線是否存在點(diǎn)P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）因?yàn)閽佄锞�與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：
∵拋物線y與軸交于點(diǎn)
∴
∴a=1
所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：，
又
因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）連結(jié)EM，
∵是的兩條切線，
∴
∴
又四邊形的面積為
∴
∴
又
∴
因此，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或
當(dāng)點(diǎn)E在第二象限時(shí)，切點(diǎn)D在第一象限，
在直角三角形EAM中，
∴
∴
過切點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F
∴
因此，切點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式為，
將的坐標(biāo)代入得
解之，得
所以，直線PD的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)E點(diǎn)在第三象限時(shí)，切點(diǎn)D在第四象限，
同理可求：切點(diǎn)D的坐標(biāo)為
直線PD的函數(shù)關(guān)系式為
因此，直線PD的函數(shù)關(guān)系式為或；
（3）若四邊形的面積等于的面積
又
∴
∴E、D兩點(diǎn)到x軸的距離相等，
∵PD與相切，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E在x軸同側(cè)，
∴切線PD與x軸平行，
此時(shí)切線PD的函數(shù)關(guān)系式為或
當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，由得，
故滿足條件的點(diǎn)P的位置有4個(gè)，分別是。