Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE＝12 cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm，半圓O以2 cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，當(dāng)t＝0時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8 cm．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

(2)當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，如果半圓與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AC⊥OE，OC＝OE＝6 cm，AC與半圓O所在的圓相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了2 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝＝1(s) 　�、谌鐖D2，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12 cm，則OF＝6 cm，即OF等于半圓O所在圓的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝＝4(s) 　�、廴鐖D3，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，ACOD，OC＝OD＝6 cm，所以AC與半圓O所在的圓相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了14 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝＝7(s) 　�、苋鐖D4，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB＝12 cm時(shí)，過點(diǎn)O作QO⊥直線AB，垂足為Q，在，∠OBQ＝30°，則OQ＝6 cm，即QO等于半圓O所在圓的半徑，所以直線AB與半圓O所在的圓相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝＝16(s)． 　　因?yàn)榘雸AO在運(yùn)動(dòng)中，它所在的圓與AC所在的直線相切只有上述①③兩種情形，與AB所在的直線相切只有上述②④兩種情形，與BC所在的直線始終相交，所以，只有t為1 s，4 s，7 s，16 s時(shí)，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切， 　　(2)當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有如圖2，與圖3所示的兩種情形． 　�、偃鐖D2，設(shè)OA與半圓O的交點(diǎn)為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6 cm的扇形，所求重疊部分面積為：S扇形EOM＝×62＝9(cm2) 　�、谌鐖D3，設(shè)AB與半圓O的交點(diǎn)為P，連接OP，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，則點(diǎn)P到點(diǎn)H的距離PH＝BH，在Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6 cm，則OH＝3 cm，BH＝3 cm，BP＝6 cm，S△POB＝×6×3＝9(cm2)， 　　又因?yàn)椤螪OP＝2∠DBP＝60°，所以S扇形ODP＝×62＝6(cm2)． 　　所求重疊部分面積為：S△POB＋S扇形ODP＝(9＋6) cm2