Question

如圖直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點(diǎn)D為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OD＞1），連接BD，以線段BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DEFB，M是正方形DEFB對(duì)角線的交點(diǎn)，直線MA交y軸于點(diǎn)Q．
（1）△OBD與△ABM相似嗎？為什么？
（2）隨著點(diǎn)D位置的變化，點(diǎn)Q的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）隨著點(diǎn)D位置的變化，連接BQ、DQ，請(qǐng)?zhí)骄俊鱍BD能否為直角三角形？如果能請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用“SAS”證明相似；
（2）利用（1）中的相似三角形，證明角相等，從而可證△AOQ為等腰直角三角形，得出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如果∠QBD=90°，可證△BCQ≌△BAD，為求E點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為G，利用角的互余關(guān)系，可證△EDG≌△DBA，再求E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）△ABM∽△OBD．
證明：∵OB：AB=BD：BM=

2

，
∠OBD=∠ABM=135°，
∴△ABM∽△OBD．

（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)不變，是Q（0，-1）；
證明：∵△ABM∽△OBD，
∴∠BAM=∠BOD=45°，∠OAQ=180°-∠OAB-∠BAM=45°，
∴△OAQ為等腰直角三角形，可證得OQ=OA=1；

（3）△QBD可以是直角三角形．
過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為G，當(dāng)∠DBQ=90°時(shí)，
∵∠CBQ+∠QBA=90°，∠QBA+∠ABD=90°，
∴∠CBQ=∠ABD，
又∵BC=BA，∠C=∠BAD，
∴△BCQ≌△BAD，
∴AD=CQ=2，
易證△EDG≌△DBA，
∴DG=AB=1，EG=AD=2，
∴△QBD能成為直角三角形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

5 +3

2

，

5 -1

2

）或E（4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形，相似三角形的判定及運(yùn)用，點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，在變中尋找不變的量．