【題目】如圖,已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=+bx+c經(jīng)過A、B兩點,點C是拋物線與x軸的另一個交點,該拋物線的對稱軸與x軸交于點E.
(1)直接寫出拋物線的解析式為 ;
(2)以點E為圓心的⊙E與直線AB相切,求⊙E的半徑;
(3)連接BC,點P是第三象限內(nèi)拋物線上的動點,連接PE交線段BC于點D,當△CED為直角三角形時,求點P的坐標.
【答案】(1)y=+2x﹣3;(2);(3)(﹣1,﹣4)或(,).
【解析】
試題分析:(1)先利用一次函數(shù)解析式求出A點和B點坐標,再把A點和B點坐標代入y=+bx+c得關于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式;
(2)作EH⊥AB于H,如圖1,先利用勾股定理計算出AB,再利用切線的性質(zhì)得EH為⊙E的半徑,然后證明Rt△EAH∽Rt△BAO,則可利用相似比計算出EH;
(3)先通過確定C點坐標可得到OC=OB=3,則可判斷△OBC為等腰直角三角形,所以∠OCB=45°,分類討論:當∠CDE=90°,則△CDE為等腰直角三角形,作DF⊥CE于F,如圖2,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得DF=EF=CF=CE=1,則可確定D(﹣2,﹣1),再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y=x+1,然后通過解方程組可得到此時P點坐標;當∠CED=90°時,EP∥y軸,此時P點為拋物線的頂點.
試題解析:(1)當y=0時,3x﹣3=0,解得x=1,則A(1,0),
當x=0時,y=3x﹣3=﹣3,則B(0,﹣3),
把A(1,0),B(0,﹣3)代入y=+bx+c得,解得,
所以拋物線解析式為y=+2x﹣3;
故答案為:y=+2x﹣3;
(2)作EH⊥AB于H,如圖1,
∵y=+2x﹣3=﹣4,
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,則E(﹣1,0)
∵A(1,0),B(0,﹣3),
∴AB==,
∵以點E為圓心的⊙E與直線AB相切,
∴EH為⊙E的半徑,
∵∠EAH=∠BAO,
∴Rt△EAH∽Rt△BAO,
∴EH:OB=EA:AB,即EH:3=2:,解得EH=,
即⊙E的半徑為;
(3)當y=0時,+2x﹣3=0,解得=-3,=1,則C(﹣3,0),
∵OC=OB=3,
∴△OBC為等腰直角三角形,
∴∠OCB=45°,
當∠CDE=90°,則△CDE為等腰直角三角形,作DF⊥CE于F,如圖2,則DF=EF=CF=CE=1,
∴D(﹣2,﹣1),
設直線OD的解析式為y=mx+n,
把E(﹣1,0),D(﹣2,﹣1)代入得,解得,
∴直線OD的解析式為y=x+1,
解方程組得或,
∴P點坐標為(,);
當∠CED=90°時,EP∥y軸,此時P點坐標為(﹣1,﹣4),
綜上所述,滿足條件的P點坐標為(﹣1,﹣4)或(,).
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【題目】函數(shù)y=kx﹣1(常數(shù)k>0)的圖象不經(jīng)過的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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【題目】如圖,下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成,其中,第(1)個圖形中面積為1的正方形有2個,第(2)個圖形中面積為1的正方形有5個,第(3)個圖形中面積為1的正方形有9個,…,按此規(guī)律.則第(6)個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為( 。
A.20
B.27
C.35
D.40
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【題目】劉翔在出征雅典奧運會前刻苦進行110米跨欄訓練,教練對他10次的訓練成績進行分析,判斷他的成績是否穩(wěn)定,則教練需要知識劉翔這10次成績的( ).
A. 眾數(shù) B. 方差 C. 平均數(shù) D. 頻數(shù)
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為6,∠ABC,∠ACB的角平分線交于點D,過點D作EF∥BC,交AB、CD于點E、F,則EF的長度為___________.
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點作一個60°角∠NDM,角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點,連接MN.試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關系,并加以證明.
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【題目】數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點,某數(shù)軸的單位長度為1cm,若在數(shù)軸上畫出一條長2016cm的線段AB,則AB蓋住的整點個數(shù)是( )
A.2016或2017
B.2015或2016
C.2015
D.2016
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