Question

如圖所示，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，以AD為邊作等邊△ADG，在經(jīng)過點(diǎn)O作∠EOF=60°，與邊DG相交于點(diǎn)E，與邊AG相交于點(diǎn)F，連接EF．
（1）求證：DE+AF=EF；
（2）若AB=1cm，求△EFG的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明△AOH≌△DOE，得到OH=OE，∠AOH=∠DOE；證明△HOF≌△EOF（SAS），得到HF=EF，故DE+AF=EF，即可解決問題．
（2）求出AD的長度；運(yùn)用（1）中的結(jié)論得到△EFG的周長=AG+DG=2

3

，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，延長FA到H，使AH=DE，連接OH；
∵△ADG為等邊三角形，且∠AOD=120°，
∴∠G=60°，∠AOD+∠G=180°，
∴A、O、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠HAO=∠EDO；而四邊形ABCD為矩形，
∴OA=OD；
在△AOH與△DOE中，

AO=DO ∠OAH=∠ODE AH=DE

，
∴△AOH≌△DOE（SAS），
∴OH=OE，∠AOH=∠DOE，
∴∠HOF=∠AOF+∠DOE=120°-∠EOF=60°，
∴∠HOF=∠EOF；
在△HOF與△EOF中，

OH=OD ∠HOF=∠DOF OF=OF

，
∴△HOF≌△EOF（SAS），
∴HF=EF，即DE+AF=EF．
（2）∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAD=∠ODA=

180°-120°

2

=30°，
∵∠BAD=90°，AB=1，
∴AD=

3

，AG=DG=AD=

3

；
∵DE+AF=EF，
∴△EFG的周長=AG+DG=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)來分析‘、判斷、解答．