Question

如圖，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=6，O為AB的中點(diǎn)，且以O(shè)為圓心的半圓與AC，BC分別相切于點(diǎn)D，E；
（1）求半圓O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）解：連結(jié)OD，OC，
∵半圓與AC，BC分別相切于點(diǎn)D，E．
∴OD⊥AC．
∵AC=BC，且O是AB的中點(diǎn)．
∴CO⊥AB，
∴AO=AB=3
∵∠C=120°，
∴∠DCO=60°．
∴∠A=30°．
∴在Rt△AOD中，OD=AO=，
即半圓的半徑為；
（2）設(shè)CO=x，則在Rt△AOC中，因?yàn)椤螦=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：
AC²-OC²=AO²，即（2x）²-x²=9，
解得   x=（x=-舍去）
S=×6×-×π×（）²=3-π
∴陰影部分的面積為3-π．
分析：（1）連結(jié)OD，OC，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形30°角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半即可求出半圓的半徑；
（2）設(shè)CO=x，則在Rt△AOC中，因?yàn)椤螦=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：AC²-OC²=AO²，解方程可求出x的值，再根據(jù)陰影部分的面積等于三角形的面積-半圓的面積計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．