Question

如圖，直線y=-x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

(x＞0)上的一點(diǎn)，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

4

，

2

3

）時(shí)，求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△EOF的面積；
（2）用含a，b的代數(shù)式表示E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△EOF的面積；
（3）求BE•AF的值．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

4

，

2

3

）可得到E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

4

，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2

3

，而點(diǎn)E、F在直線y=-x+1上，易確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（

3

4

，

1

4

）、（

1

3

，

2

3

）；再求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），然后利用S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）與（1）一樣先確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），再利用S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）作EG⊥y軸于G，F(xiàn)H⊥x軸于H點(diǎn)，易得△GEB、△FHA都為等腰直角三角形，則BE=

2

GE，AF=

2

FH，而E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，則BE=

2

a，AF=

2

b，
即可得到BE•AF=2ab=2×

1

2

=1．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

4

，

2

3

）
而PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

4

，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2

3

，
∵點(diǎn)E、F在直線y=-x+1上，
當(dāng)x=

3

4

時(shí)，y=-

3

4

+1=

1

4

，
當(dāng)y=

2

3

時(shí)，

2

3

=-x+1，則x=

1

3

，
∴E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（

3

4

，

1

4

）、（

1

3

，

2

3

）；
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴S_△OAB=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=

1

2

-

1

2

×1×

1

3

-

1

2

×1×

1

4

=

5

24

；

（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），0＜a≤1，且b=

1

2a

，
而PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，
∵點(diǎn)E、F在直線y=-x+1上，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y=-a+1，
當(dāng)y=b時(shí)，b=-x+1，則x=-b+1，
∴E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b）；
S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=

1

2

-

1

2

×1×（-b+1）-

1

2

×1×（-a+1）=

1

2

（a+b-1）；

（3）作EG⊥y軸于G，F(xiàn)H⊥x軸于H點(diǎn)，如圖，
∵OA=OB=1，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴△GEB、△FHA都為等腰直角三角形，
∴BE=

2

GE，AF=

2

FH，
而E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，
∴BE=

2

a，AF=

2

b，
∴BE•AF=2ab=2×

1

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：先設(shè)反比例函數(shù)圖象上某點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示其它有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用面積公式建立等量關(guān)系，從而解決問題．