Question

如圖：在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直線EF分別交AB、AC于M、N．
求證：（1）四邊形AECF為矩形；
（2）試猜想MN與BC的關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC=∠AFC=90°，再由，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD，能證出∠ECF=90°，從而得證．
（2）由矩形的性質(zhì)可證NE=NC，從而可代換出內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，又因?yàn)镹是AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理相應(yīng)的推論可知M是AB的中點(diǎn)．

解答：（1）證明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=

1

2

×180°=90°，
∴三個(gè)角為直角的四邊形AECF為矩形；

（2）解：MN∥BC且MN=

1

2

BC；
證明：∵四邊形AECF為矩形，
∴對(duì)角線相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的對(duì)角線相等且互相平分），
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN=

1

2

BC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的判定和性質(zhì)及三角形的中位線定理，關(guān)鍵是①由已知推出四邊形AECF的三個(gè)角為直角；②由矩形的性質(zhì)可證NE=NC，從而可代換出內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，又因?yàn)镹是AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理相應(yīng)的推論可知M是AB的中點(diǎn)．