【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB=2 ,點E為對角線AC上一動點,連接DE,過點E作EF⊥DE,交射線BC于點F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

(1)求證:矩形DEFG是正方形;
(2)探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由;
(3)設(shè)AE=x,四邊形DEFG的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】
(1)

解:如圖,作EM⊥BC,EN⊥CD

∴∠MEN=90°,

∵點E是正方形ABCD對角線上的點,

∴EM=EN,

∵∠DEF=90°,

∴∠DEN=∠MEF,

在△DEM和△FEM中,

∴△DEM≌△FEM,

∴EF=DE,

∵四邊形DEFG是矩形,

∴矩形DEFG是正方形;


(2)

解:CE+CG的值是定值,定值為4,

∵正方形DEFG和正方形ABCD,

∴DE=DG,AD=DC,

∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,

∴∠CDG=∠ADE,

∴△ADE≌△CDG,

∴AE=CG.

∴CE+CG=CE+AE=AC= AB= ×2 =4,


(3)

解:如圖,

∵正方形ABCD中,AB=2 ,

∴AC=4,

過點E作EM⊥AD,

∴∠DAE=45°,

∵AE=x,

∴AM=EM= x,

在Rt△DME中,DM=AD﹣AM=2 x,EM= x,

根據(jù)勾股定理得,DE2=DM2+EM2=(2 x)2+( x)2=x2﹣4x+8,

∵四邊形DEFG為正方形,

∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8.


【解析】(1)作出輔助線,得到EN=EM,然后判斷∠DEN=∠FEM,得到△DEM≌△FEM,則有DE=EF即可;(2)同(1)的方法判斷出△ADE≌△CDG得到CG=AE,即:CE+CG=CE+AE=AC=4;(3)由正方形的性質(zhì)得到∠DAE=45°,表示出AM=EM,再表示出DM,再用勾股定理求出DE2
【考點精析】關(guān)于本題考查的正方形的判定方法,需要了解先判定一個四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個四邊形是菱形,再判定出有一個角是直角才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;

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|-b|=_____; |-c|=_____.

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__________________________________(用含a、b的式子表示);

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