Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF，∠BCE=∠DCF；
（2）在圖中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=GF成立嗎？為什么？
（3）已知AE=4，AG=3，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠BCD=∠B=∠ADC=90°．BC=CD．
∴∠FDC=90°，
∴∠B=∠FDC．
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF；
（2）∵∠BCD=90°，且∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF+∠GCD=45°，
即∠GCF=45°．
∴∠GCF=∠GCE．
在△DCE和△GCF中

∴△GCE≌△GCF，
∴GE=GF．
（3）在Rt△AEG中，由勾股定理得
GE=5，
∴GF=5．
設GD=x，則DF=5-x，
∴3+x=4+（5-x），
∴x=3，
∴AD=6，
∴正方形ABCD的面積=6²=36．
分析：（1）由正方形的性質可以得出△BCE≌△DCF就可以求出結論；
（2）由條件及（1）的結論可以得出∠GCD+∠DCF=45°，再證明△GCE≌△GCF就可以得出結論；
（3）由勾股定理可以求出EG=5，由（2）可以得出GF=5，設GD=x，則DF=5-x，根據3+x=4+（5-x）就可以求出正方形的邊長，從而求出結論．
點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，正方形的面積的運用及一元一次方程的運用．在解答時注意每個問題之間的遞進關系的運用．