Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，若將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△FEC．則AE與BF的關(guān)系是    ；若△ABC的面積為3cm²，則四邊形ABFE的面積是    ；當(dāng)∠ACB為    度時，四邊形ABFE為矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB=AC，△FEC是由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°產(chǎn)生的，可知，AC=CF，BC=CE，所以得到四邊形ABFE是平行四邊形；由平行四邊形的性質(zhì)可知AE∥BF且AE=BF；
（2）由于BC=CE，所以△ABC與△ACE可看作等底同高的兩個三角形，那么S_△ABC=S_△ACE；由于AC=CF，同理，S_△ABC=S_△FBC，S_△ACE=S_△FCE；即四個三角形的面積相等，所以S_{四邊形ABFE}=4×S_△ABC，可求得面積是12cm²；
（3）當(dāng)∠ACB=60°時，AB=AC=BC，可得AF=BE，即四邊形ABFE是矩形．
解答：解：（1）∵△FEC是△ABC順時針旋轉(zhuǎn)180°產(chǎn)生的，且AB=AC，
∴ACF、BCE共線且AC=CF，BC=CE，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB∥BF且AB=BF．

（2）∵BC=CE，
∴△ABC與△ACE可看作等底同高的兩個三角形，
∴S_△ABC=S_△ACE；
又∵AC=CF，
同理，S_△ABC=S_△FBC，S_△ACE=S_△FCE；
∴S_{四邊形ABFE}=4×S_△ABC=12cm²．

（3）當(dāng)∠ACB=60°時，四邊形ABFE是矩形．理由如下：
∵∠ACB=60°時，AB=AC，
∴AB=AC=BC，
又∵AC=CF，BC=CE，
∴AF=BE，
∴平行四邊形ABFE是矩形．
點評：本題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)和中心對稱圖形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用中心對稱圖形的性質(zhì)得到相等的線段和全等的圖形．熟練掌握矩形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)才能在綜合題中靈活運用．