如圖①,在⊙O中AB是直徑,D是上半圓中點(diǎn),E是下半圓中點(diǎn),點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)(不與B、E重合)連接AD、BD、AC、BC.設(shè)BC長(zhǎng)度為n,AC長(zhǎng)度為m.
(1)用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S;
(2)證明:
(3)如圖②③,當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至上時(shí),②中結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)說明理由;若不成立,請(qǐng)用含m、n的式子表示tan∠DAC.(直接寫答案,并選擇其中一種證明)

【答案】分析:(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠C=∠D=90°,根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等可得AD=BD,從而得到△ABD是等腰直角三角形,利用勾股定理列式求出AB,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD,然后根據(jù)四邊形ACBD的面積S=S△ABC+S△ABD,列式計(jì)算即可得解;
(2)過點(diǎn)D作DM⊥AC于M,作DN⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于N,可得四邊形DMCN是矩形,根據(jù)同角的余角相等求出∠ADM=∠BDN,然后利用“角角邊”證明△ADM和△BDN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BN,DM=DN,從而得到矩形DMCN是正方形,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,AM=BN=y,然后用m、n表示a列出方程組求解得到x、y,再根據(jù)銳角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解;
(3)圖②,先求出點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接AC′、BC′,根據(jù)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形可得四邊形AC′C是矩形,過點(diǎn)D作DM⊥AC′于M,作DN⊥BC′交C′B的延長(zhǎng)線于N,然后與(2)的思路相同求解即可;圖③同理可求.
解答:解:(1)∵AB的⊙O的直徑,
∴∠C=∠D=90°,
∵D是上半圓中點(diǎn),
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
在Rt△ABC中,AB==,
∴AD=AB=
∴四邊形ACBD的面積S=S△ABC+S△ABD,
=AC•BC+AD2,
=mn+×(m2+n2),
=(m+n)2;

(2)如圖①,過點(diǎn)D作DM⊥AC于M,作DN⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于N,則四邊形DMCN是矩形,
∴∠BDN+∠BDM=90°,
又∵∠ADM+∠BDN=∠ADB=90°,
∴∠ADM=∠BDN,
∵在△ADM和△BDN中,
,
∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴AM=BN,DM=DN,
∴矩形DMCN是正方形,
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,AM=BN=y,則
,
解得,
tan∠DAC===

(3)結(jié)論不成立,點(diǎn)C在上時(shí),tan∠DAC=
點(diǎn)C在上時(shí),tan∠DAC=
理由如下:點(diǎn)C在上時(shí),
如圖②,點(diǎn)C′為點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接AC′、BC′,
則四邊形AC′C是矩形,
∴AC′=BC=n,BC′=AC=m,
過點(diǎn)D作DM⊥AC′于M,作DN⊥BC′交C′B的延長(zhǎng)線于N,
與(2)同理可求,AM=BN,DM=DN,
∴矩形DMCN是正方形,
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,AM=BN=y,則,
解得
∵DM⊥AC′,AC′∥BC,
∴DM⊥BC,
∵∠C=90°,
∴AC∥DM,
∴∠DAC=∠ADM,
∴tan∠DAC=tan∠ADM===;
點(diǎn)C在上時(shí),如圖③,
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,AN=BM=y,則
解得,
tan∠DAC=tan∠ADN===
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題型,主要利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),銳角的正切的定義,作輔助線構(gòu)造出全等三角形與正方形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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