Question

如圖，在△ABC中，E為高AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（點(diǎn)F在高AD上，且不與A、D重合）．過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線(xiàn)與AB交于P，與AC交于Q，連接PE并延長(zhǎng)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，連接QE并延長(zhǎng)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，連接PM、QN．
（1）試判斷四邊形PMNQ的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若要使四邊形PMNQ是一個(gè)矩形，則△ABC還應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若BC=10，AD=6，則當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，四邊形PMNQ的面積與△APQ的面積相等？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PQ∥MN可得出∠EPQ=∠ENM，∠EQP=∠EMN，進(jìn)而可得出△PEQ∽△NEM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出F、D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得到EF=ED，PQ=MN，進(jìn)而可判斷出四邊形PMNQ是平行四邊形；
（2）先根據(jù)PQ∥BC得出∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，再由AB=AC及AF平分PQ可得出EP=EQ，再根據(jù)四邊形PMNQ是平行四邊形即可得出結(jié)論；
（3）ED=x，四邊形PMNQ的面積與△APQ的面積相等即可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．

解答：解：（1）四邊形PMNQ是平行四邊形．
∵PQ∥MN，
∴∠EPQ=∠ENM；∠EQP=∠EMN，
∴△PEQ∽△NEM，
∵ED⊥MN，EF⊥PQ，
∴

PQ

MN

=

EF

ED

，
∵F、D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，
∴EF=ED，
∴PQ=MN，
∵PQ∥MN，
∴四邊形PMNQ是平行四邊形；

（2）滿(mǎn)足條件：AB=AC，
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ，
∵AF⊥PQ，
∴AF平分PQ，
∴EP=EQ，
∵四邊形PMNQ是平行四邊形，
∴PE=EN，ME=EQ，
∴PE=EQ=EM=EN，
∴MQ=PN，
∴當(dāng)AB=AC時(shí)，PMNQ是矩形；

（3）設(shè)ED=x，
∵S_PMNQ=S_△APQ，
∴PQ×2x=

1

2

PQ×（6-2x），
∴x=1，
∴當(dāng)ED=1時(shí)，四邊形PMNQ與△APQ面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)及四邊形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．