Question

在如圖△ABC中，∠A=52°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點D₁，∠ABD₁與∠ACD₁的角平分線交于點D₂，依此類推，若∠ABD₅與∠ACD₅的角平分線交D₆，則∠BD₆C的度數

54°

．

Answer 1

分析：根據角平分線的性質可得到：∠ABD₁=∠CBD₁=

1

2

∠ABC，∠ACD₁=∠BCD₁=

1

2

∠ACB，再根據三角形的內角和定理可得：∠BD₁C的度數，再根據∠ABD₁與∠ACD₁的角平分線交于點D₂，可得∠D₂BC=

3

4

∠ABC，∠D₂CB=

3

4

∠ACB，進而求出∠BD₂C=180°-

3

4

（∠ABC+∠ACB），以此類推可得到：∠BD₆C=180°-

63

64

（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形內角和代入∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出答案．

解答：解：∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，
∵∠ABC與∠ACB的角平分線交于D₁，
∴∠ABD₁=∠CBD₁=

1

2

∠ABC，∠ACD₁=∠BCD₁=

1

2

∠ACB，
∴∠CBD₁+∠BCD₁=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×128°=64°，
∴∠BD₁C=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，
∵∠ABD₁與∠ACD₁的角平分線交于點D₂，
∴∠D₂BC=

3

4

∠ABC，∠D₂CB=

3

4

∠ACB，
∴∠D₂BC+∠D₂CB=

3

4

（∠ACB+∠ABC），
∴∠BD₂C=180°-

3

4

（∠ABC+∠ACB）=180°-

3

4

（180°-∠A）=180°-96°=84°，
依此類推，∠BD₆C=180°-

63

64

（∠ABC+∠ACB）=180°-

63

64

（180°-∠A）=180°-126°=54°．
故答案為：54°．

點評：此題主要考查角平分線的性質和三角形的內角和定理，關鍵是根據三角形的角平分線的性質求出∠ABC+∠ACB與∠A的關系，并能找出∠BD_nC與∠A的關系規(guī)律．