Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，正方形A1B1C1O的邊OA1交AB于點E，OC1交BC于點F．

（1）求證：（BE+BF）2=2OB2；

（2）如果正方形ABCD的邊長為a，那么正方形A1B1C1O繞O點轉(zhuǎn)動的過程中，與正方形ABCD重疊部分的面積始終等于　　　　 （用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由題意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因為∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根據(jù)ASA可證△AOE≌△BOF，可得AE=BF，可得BE+BF=AB，由勾股定理可得結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得S△AOE=S△BOF，可得重疊部分的面積為正方形面積的，即可求解．

解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．

∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF．

在△AOE和△BOF中

，

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∴AE=BF，

∴BE+EF=BE+AE=AB

在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，且OA=OB，

∴（BE+BF）2=2OB2，

（2）∵△AOE≌△BOF，

∴S△AOE=S△BOF，

∴重疊部分的面積=S△AOB=S正方形ABCD=a2．

故答案為：a2．