Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，點O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

2

3

x2-

10

3

x+c經(jīng)過B點．
（1）請寫出拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，線段CD下方的拋物線上有一個動點M．過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設(shè)點M的橫坐標為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時，點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線上B點的坐標以及拋物線方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）根據(jù)C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數(shù)值的差，可將x=t代入兩個函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達式，由此可求出l、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時，點M的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

2

3

x2-

10

3

x+c經(jīng)過B點，B點的坐標是（0，4），
∴4=0-0+c，即c=4，
∴該拋物線的解析式為：y=

2

3

x2-

10

3

x+4；

（2）∵A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），
∴OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理知，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5．
假設(shè)點C、D都在拋物線y=

2

3

x2-

10

3

x+4．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）；
當x=5時，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
當x=2時，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴點C和點D在所求拋物線上；

（3）設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．
則

4=5k+b 0=2k+b

，
解得，

k= 4 3 b=- 8 3

，
故直線CD的解析式為y=

4

3

x-

8

3

．
∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，
∴N點的橫坐標也為t；
則y_M=

2

3

×t²-

10

3

t+4，y_N=

4

3

t-

8

3

．
∴l(xiāng)=y_N-y_M=

4

3

t-

8

3

-（

2

3

×t²-

10

3

t+4）=-

2

3

（t-

7

2

）²+

3

2

．
∵-

2

3

＜0，
∴當t=

7

2

時，l_最大=

3

2

，此時y_M=

2

3

×（

7

2

）²-

10

3

×

7

2

+4=

1

2

．
此時點M的坐標為（

7

2

，

1

2

）．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，圖象的平移變換，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．在設(shè)一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b時，不要漏掉k≠0這一條件．