Question

如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AD: AB= :2，CP:BP=1:2，連接EP并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F，AP、BE相交于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB²．其中正確的序號是_______________．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

 

Answer 1

【答案】

①②③

【解析】

試題分析：由條件設(shè)AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函數(shù)值可以求出∠EBC的度數(shù)和∠CEP的度數(shù)，就可以求出∠CEP=∠BEP，運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)值就可以求出就可以求出BF、EF的值，從而可以求出結(jié)論．

設(shè)AD=x，AB=2x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，

∴BC=x，CD=2x，

∵CP：BP=1：2，

∴CP=x，BP=x

∵E為DC的中點(diǎn)，

∴CE=CD=x，

∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，

∴∠CEB=60°，

∴∠PEB=30°，

∴∠CEP=∠PEB，

∴EP平分∠CEB，故①正確；

∵DC∥AB，

∴∠CEP=∠F=30°，

∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，

∴△EBP∽△EFB，

∴BE．BF=BP．EF．

∵∠F=BEF，

∴BE=BF，

∴BF²=PB?EF

∴△ABP∽△ECP

則正確的序號是①②③.

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的正切值，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)

點(diǎn)評：本題綜合性強(qiáng)，難度較大，是中考常見題，學(xué)生需熟練掌握平面圖形的基本性質(zhì).