Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中點，AE=2．經(jīng)過點E作△ABE外接圓的切線交BC于點D，過點C作CF⊥BC交BE的延長線于點F，連接FD交AC于點H，F(xiàn)D平分∠BFC．
（1）求證：DE=DC；
（2）求證：HE=HC=1；
（3）求BD的長度．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴BE是△ABE外接圓的直徑；
又∵DE是△ABE外接圓的切線（已知），
∴DE⊥BF；
又∵CF⊥BC（已知），F(xiàn)D平分∠BFC，
∴DE=DC（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）；

（2）證明：∵E是AC的中點，AE=2，
∴CE=AE=2；
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），
∴∠EDH=∠CDH，
∴DH是CE邊上的中線，DH⊥CE，
∴HE=HC=1；

（3）解：∵∠ABE+∠AEB=90°（直角三角形的兩個銳角互余），∠AEB=∠FEH（對頂角相等），∠FEH+∠DEH=90°，
∴∠ABE=∠DEH=∠DCH，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴AB：AC=AE：AB，
∵AE=2，AC=2AE=4，
∴AB=2，
∴tan∠ABE==；
∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理知，BC=2；
∵tan∠ABE=tan∠DCH==，
∴DH=，
∴CD=，
∴BD=BC-CD=．
分析：（1）根據(jù)切線的定義證得DE⊥BF；然后由角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）證得DE=DC；
（2）根據(jù)全等直角三角形的判定定理HL證得Rt△DEF≌Rt△DCF；然后由全等三角形的對應(yīng)角相等、等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)推知CH=CE=1；
（3）由相似三角形△ABC∽△AEB的對應(yīng)邊成比例求得AB=2；然后在Rt△ABE中利用正切三角函數(shù)的定義推知tan∠ABE==；最后由勾股定理、等角的三角函數(shù)值相等即可求得BC、CD的長度，從而求得BD=BC-CD．
點評：本題考查了圓的綜合題：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用．