Question

如圖，矩形ABCD中，CE⊥BD于點E，AF平分∠BAD交EC的延長線于點F，
（1）求作點F；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）
（2）求證：CA=CF．

Answer 1

解：（1）作圖如圖所示：

（2）證明：延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．
在Rt△BCD中，∵CE⊥BD，
∴∠DCE=∠DBC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴△DCB≌△CDA，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD，①
又∵AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
從而易證△HCG也是等腰直角三角形，
∴∠CHG=45°．
∵∠CHG是△CHF的外角，
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH．②
由①，②可知∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
∴CA=CF．
分析：（1）根據(jù)作一個角的平分線的基本作圖方法，即可求得F點；
（2）延長DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可證明CA=CF．
點評：本題考查了尺規(guī)基本作圖中的作一個角的角平分線和矩形的性質(zhì)：各內(nèi)角為直角、對邊相等的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，考查了全等三角形的證明和對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中構(gòu)建與∠CAD相等的角a是解題的關(guān)鍵．