Question

觀察按下列規(guī)律排成的一列數：1，

1

2

，

2

1

，

1

3

，

2

2

，

3

1

，

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

，

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

，

1

6

，…
這列數也可分組排列：(1)，(

1

2

，

2

1

)，(

1

3

，

2

2

，

3

1

)，(

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

)，…
（1）如果按分組排列，請問

2

200

從左往右依次在第幾組？
（2）如果

2

200

是原數列中的第m個數，請先求m的值，再求該數列中前m個數的乘積；
（3）在原數列中，未經約分且分母為2的數記為a，與它相鄰的后一個數記為b，是否存在這樣的兩個數a和b，使ab=4950？如果存在，請求出a和b；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據數字分子與分母的變化得出

2

200

從左往右在第201組；
（2）根據分數的分子和分母的和為n的一組分數有n-1個，依此求出前面200組的分數個數，加上2，即可求出m的值，再根據每組的積為1，求出這m個數的積；
（3）先設第n組a=

n-1

2

，則b=

n

1

，根據ab=4950，列方程求解即可．

解答：解：（1）∵分組：（

1

1

），（

1

2

，

2

1

），（

1

3

，

2

2

，

3

1

），（

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

），…（

1

201

，

2

200

，…，

201

1

）
∴按分組排列，

2

200

從左往右在第201組；

（2）∵

2

200

是原數列中的第m個數，
∴m=1+2+3+4+…+199+200+2=20102，
∵每組的積為1，∴該數列中前m個數的乘積為：

1

201

×

2

200

=

2

40200

=

1

20100

；

（3）a為某組倒數第二個數，b為該組最后一個數，
設它們在第n組a=

n-1

2

，b=

n

1

，
則

n-1

2

×

n

1

=4950，
解得：n₁=100，n₂=-99（不合題意舍去），
則a=

100-1

2

=

99

2

，b=

100

1

=100．

點評：本題考查了規(guī)律型：數字的變化和一元二次方程的應用．解題關鍵是得出每組分數對應的分子和分母．