Question

如圖所示的正三角形ABC中，有一個內(nèi)接正方形DEFG，已知三角形邊長AB=2，則正方形的邊長DE=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過A作AM垂直于BC，交BC于M點(diǎn)，交DE于N點(diǎn)，由四邊形DEFG為正方形，得到DE與BC平行，且四條邊相等，設(shè)正方形的邊長為x，由兩直線平行得到兩對同位角相等，利用兩對角相等的三角形相似可得出三角形ADE與三角形ABC相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為正方形的邊長．

解答：解：過A作AM⊥BC，交BC于M，交DE于N，如圖所示：
∵四邊形DEFG為正方形，
∴DE∥BC，DG=GF=FE=DE，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，AN⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
設(shè)DE=EF=FG=DG=x，
又△ABC為邊長為2的等邊三角形，AM⊥BC，
∴M為BC的中點(diǎn)，即BM=CM=

1

2

BC=1，
在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=

3

2

，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，即

x

2

=

3 2 -x

3 2

，
解得：x=4

3

-6，
則正方形的邊長為4

3

-4．
故答案為：4

3

-6．

點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．