Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過(guò)A，B，E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）y=x²-2x-3
=x²-2x+1-1-3
=（x-1）²-4；
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．

（2）由拋物線y=x²-2x-3和直線y=-x+3可求得：
A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，3），
∴OB=OC=OD=3，
∴∠OBD=∠OBC=45°；
又∵∠OBD=∠AFE，∠OBC=∠AEF（在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∴∠EAF=90°，AE=AF；
∴△AEF是等腰直角三角形．
分析：（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)拋物線和已知直線的解析式，易求得A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到∠OBD、∠OBC的度數(shù)；在過(guò)A、E、F三點(diǎn)的圓中，由圓周角定理知：∠AEF=∠OBC，∠AFE=∠OBE，即可得到∠AEF、∠AFE的度數(shù)，然后根據(jù)這兩個(gè)角的度數(shù)來(lái)判斷△AEF的形狀．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圓周角定理、等腰直角三角形的判定等知識(shí)，在解題過(guò)程中，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，難度中上．