Question

如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標(biāo)為（1，0）若拋物線過A.B兩點.

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？ 若存在求出P的坐標(biāo)，不存在說明理由；
（3）若點M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點，△MAB面積為S，求S的最大（�。┲�.

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+；（2）P（1±，）；（3）最大值為．

解析試題分析：（1）連接OB，根據(jù)勾股定理即可求得點B的坐標(biāo)，再結(jié)合A（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P，由∠PBO=∠POB，可知符合條件的點在線段OB的垂直平分線上，OB的垂直平分線與拋物線有兩個交點，因此所求的P點有兩個，注意不要漏解；
（3）作MH⊥x軸于點H，構(gòu)造梯形MBOH與三角形MHA，求得△MAB面積關(guān)于M點橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求得△MAB面積的最大值．
（1）如圖，連接OB．

∵BC=2，OC=1
∴OB==
∴B（0，）
將A（3，0），B（0，）代入二次函數(shù)的表達(dá)式
得，解得，
∴y=﹣x²+x+；
（2）如圖，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P，

∵B（0，），O（0，0），
∴直線l的表達(dá)式為y=．代入拋物線的表達(dá)式，
得﹣x²+x+=；
解得x=1±，
∴P（1±，）；
（3）如圖，作MH⊥x軸于點H．

設(shè)M（x_m，y_m），
則S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA﹣S_△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB
=（y_m+）x_m+（3﹣x_m）y_m﹣×3×
=x_m+y_m﹣                     
∵y_m=﹣x_m²+x_m+，
∴S_△MAB=x_m+（﹣x_m²+x_m+）﹣
=x_m²+x_m
=（x_m﹣）²+   
∴當(dāng)x_m=時，S_△MAB取得最大值，最大值為．
考點：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、垂直平分線，勾股定理
點評：解答本題的關(guān)鍵是注意第（2）問中注意垂直平分線與拋物線的交點有兩個，不要漏解；第（3）問中，重點關(guān)注圖形面積的求法以及求極值的方法．