Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．過點A做AE⊥AB，且AE=15，連接BE交AC于點P．
（1）求PA的長；
（2）以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷BE與⊙A是否相切，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由∠CAB=30°，BC=5，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AC的長，再由CB與EA都與AB垂直，根據平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AE與BC平行，根據兩直線平行得到兩對內錯角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEP與三角形PBC相似，由相似得比例，將AE與BC的長代入，得到PA與PC的比值，再利用合比性質變形后，將AC的長代入即可求出PA的長；
（2）BE與圓O相切，理由為：在直角三角形ABE中，根據銳角三角函數定義由AE比AB得到tan∠ABE的值，利用特殊角的三角函數值求出∠ABE的度數，再由已知的∠PAB的度數，根據三角形的內角和定理求出∠APB為90°，可得出EB與AP垂直，即EB為圓O的切線，得證．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，
∴AC=2BC=10，
∵CB⊥AB，EA⊥AB，
∴AE∥BC，
∴∠E=∠PBC，∠EAP=∠C，
∴△APE～△CPB，
又BC=5，AE=15，
∴

PA

PC

=

AE

BC

=3，
∴

PA

AC

=

PA

PC+PA

=

3

1+3

=

3

4

，
∴PA=

3

4

AC=

3

4

×10=

15

2

；

（2）BE與⊙A相切，理由如下：
∵在Rt△ABE中，AB=5

3

，AE=15，
∴tan∠ABE=

AE

AB

=

15

5 3

=

3

，
∴∠ABE=60°，…（9分）
又∵∠PAB=30°，
∴∠ABE+∠PAB=90°，即∠APB=90°，
∴BE與⊙A相切．．

點評：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數定義，以及含30°直角三角形的性質，其中證明切線的方法有兩種：有點連接圓心與此點，證明垂直得切線；無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．