Question

如圖，梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，AB⊥OA，二次函數(shù)
y=mx²-mx+2的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)AC⊥OB時(shí)，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A在y軸上，代入函數(shù)解析式可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)x軸的正半軸上，AB⊥OA，可得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式后討論m的值可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）在Rt△AOB中和Rt△AOC中，利用解三角形的知識分別求出OC的長度，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入可得出二次函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=mx²-mx+2的圖象與y軸相交于A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （0，2），
∵AB⊥OA，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，
∵點(diǎn)B在二次函數(shù)y=mx²-mx+2的圖象上，
∴2=mx²-mx+2，
∴mx（x-1）=0，
∵m≠0，
∴x₁=0，x₂=1，
其中x₁=0，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （1，2 ）．

（2）∵AC⊥OB，
∴∠ACO=90°-∠BOC=∠AOB，
在 Rt△AOB中，OA=2，AB=1，
∴cot∠AOB==2，
在Rt△AOC中，OC=OA•cot∠ACO=OA•cot∠AOB=2×2=4，
∴點(diǎn)C（4，0），
∵C在二次函數(shù)y=mx²-mx+2的圖象上，
∴0=16m-4m+2，
∴m=-，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+x+2．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練待定系數(shù)法的運(yùn)用及線段長度與點(diǎn)的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，綜合性較強(qiáng)，難度較大．