Question

如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在直線BD上，由B點(diǎn)到D點(diǎn)移動，
（1）當(dāng)P點(diǎn)移動到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時，△ABP∽△PDC；
（2）當(dāng)P點(diǎn)移動到離B多遠(yuǎn)時，∠APC=90°？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的長，若△ABP∽△PDC，根據(jù)相似三角形的對銀邊成比例可得比例式，把各邊的長代入即可列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為PB的長；
（2）若∠APC=90°，根據(jù)平角的定義可得剩下的兩個角之和為90°，又根據(jù)AB⊥BD，CD⊥BD，得到一對直角相等，在直角三角形ABP中可得一對銳角之和為90°，等量代換可得∠A=∠CPD，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得△ABP∽△PDC，由（1）推出的三角形相似時BP的長可得解．

解答：解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
設(shè)BP=xcm，則PD=（14-x）cm，
若△ABP∽△PDC，
∴

AB

PD

=

BP

DC

，即

6

14-x

=

x

4

，
變形得：14x-x²=24，即x²-14x+24=0，
因式分解得：（x-2）（x-12）=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∴BP=2cm或12cm時，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，

AB

CD

=

BP

DP

，即

6

4

=

x

14-x

，解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
綜上，BP=2cm或12cm或8.4cm時，△ABP∽△PDC；

（2）若∠APC=90°，則∠APB+∠CPD=90°，
又AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
由（1）得此時BP=2cm或12cm，
則當(dāng)BP=2cm或12cm時，∠APC=90°．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)有相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；相似三角形的判定方法有：1、兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似；2、兩對對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似，本題屬于條件開放型探究題，其解法：類似于分析法，假設(shè)結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件．