Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線l₁：y=x²和點(diǎn)A（1，2）、B（3，1）．
（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，寫(xiě)出平移后的一個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，記平移后的拋物線為l₂．如圖②所示，請(qǐng)?jiān)趫D②上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形？若存在，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P（保留作圖痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)拋物線l₂的頂點(diǎn)為C，如圖③，若K是y軸上一點(diǎn)，且S_△ABC=S_△AKC，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

解（1）有多種答案，符合條件即可．
例如y=x²+1，y=²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，

（2）作圖痕跡如圖所示．
由圖可知，點(diǎn)P共有4個(gè)可能的位置．

（3）設(shè)拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+bx+c，
∵點(diǎn)A（1，2），B（3，1）在拋物線l₂上，
∵，
解得 ，
故拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-x+=（x-）²+，
故C點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
過(guò)A，B，C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，
則AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，EF=，
則S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB=（2+1）×2-（2+）×-（1+）×=，
延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G，設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，
∵點(diǎn)A（1，2），B（3，1）在直線AB上，
∴，
解得 ，
故直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+，
故G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）
設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)為（0，h），分兩種情況：
①若K點(diǎn)位于G點(diǎn)的上方，則KG=h=，
連接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG=×3×（h-）-×1×（h-）=h-，
∵S_△ABK=S_△ABC=，
∴h-=，
解得h=，
則K點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）
②若K點(diǎn)位于G點(diǎn)的下方，則KG=h-，
同理可得，h=，
則K點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），
綜上可知K點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．
分析：（1）本題答案不唯一，符合條件均可；
（2）應(yīng)有三點(diǎn)：①以A為圓心，AB為半徑作弧可交拋物線l₂于一點(diǎn)；②以B為圓心，AB為半徑坐標(biāo)交拋物線于另一點(diǎn)；③作線段AB的垂直平行線可交拋物線于兩點(diǎn)，因此共有4個(gè)符合條件的P點(diǎn)；
（3）可設(shè)出平移后的二次函數(shù)的解析式，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得l₂的函數(shù)表達(dá)式，再通過(guò)求三角形的面積來(lái)求K的坐標(biāo)．由于△ABC的面積無(wú)法直接求出，因此可其轉(zhuǎn)換成其他規(guī)則圖形面積的和差來(lái)解．分別過(guò)A、B、C三點(diǎn)作x軸的垂線，因此△ABC的面積可用三個(gè)直角梯形的面積差來(lái)求出．可先根據(jù)直線AB求出其與y軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)出K點(diǎn)坐標(biāo)后即可表示出KG的長(zhǎng)，然后可根據(jù)△KBG和△KAG的面積差表示出△KAB的面積，然后根據(jù)得出的△ABC的面積即可求出K的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象的平移、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度較大．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差進(jìn)行求解．