Question

已知mn是兩位數(shù)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2，
（1）求證：0＜m-4n≤4；
（2）求出所有這樣的兩位數(shù)mn．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)得到m²-4n＞0，設(shè)這兩點(diǎn)是（a，0）（b，0），再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2可得到|a-b|≤2，進(jìn)而可求出答案；
（2）由（1）可知4n＜m²≤4+4n=4（n+1），根據(jù)mn是兩位數(shù)可得到n的取值范圍，進(jìn)而可得到m、n的對(duì)應(yīng)值，求出mn的值即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，
∴判別式大于0，
即m²-4n＞0，
設(shè)這兩點(diǎn)是（a，0）（b，0），
∵a和b是方程x²+mx+n=0的根，
∴a+b=-m，ab=n，
這兩點(diǎn)距離=|a-b|≤2，
∴（a-b）²≤4，
（a-b）²=（a+b）²-4ab=m²-4n≤4，
∴0＜m²-4n≤4，
0＜m²-4n≤4，

（2）由（1）可知，4n＜m²≤4+4n=4（n+1），
∵mn是兩位數(shù)，
∴0≤n≤9，
∴0≤4n≤36，
4≤4（n+1）≤40，
∴m²≤40，
m=1，2，3，4，5，6，
m=1，4n＜1≤4（n+1），
∴n=0
m=2，4n＜4≤4（n+1），n=0，
m=3，4n＜9≤4（n+1），n=2，
m=4，4n＜16≤4（n+1），n=3，
m=5，4n＜25≤4（n+1），n=6，
m=6，4n＜36≤4（n+1），n=8，
∴mn=10，20，32，43，56，68．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及到一元二次方程跟的判別式、兩點(diǎn)間的距離公式及不等式的基本性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．