Question

如圖，△ABC和△ADC都是每邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)B，A出發(fā)，各自沿BA，AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，D停止，運(yùn)動(dòng)的速度相同，連接EC，F(xiàn)C．
（1）在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)E，F(xiàn)在射線BA，射線AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去；（1）小題中的結(jié)論還成立嗎？（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

解：（1）∵E、F的速度相同，且同時(shí)運(yùn)動(dòng)，
∴BE=AF，
又∵BC=AC，∠B=∠CAF=60°，
在△BCE和△ACF中，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠BCE=∠ACF，
因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
所以∠ECF=∠BCA=60°．

（2）答：沒(méi)有變化．
證明：由（1）知：△BCE、△ACF的面積相等；
故：S_{四邊形AECF}=S_△AFC+S_△AEC=S_△AEC+S_△BEC=S_△ABC；
因此四邊形AECF的面積沒(méi)有變化．

（3）答：∠AFE=∠FCD=∠ACE；
證明：由（1）可得：∠EAC=∠FDC=60°，AE=FD，AC=CD，
∴△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；
由（1）知：EC=FC，∠ECF=60°，
∴△ECF是等邊三角形，即∠EFC=60°；
∴∠FCD+∠DFC=120°，
又∵∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD=∠ACE．

（4）回答（1）中結(jié)論成立．
由于當(dāng)E、F分別在BA、AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的全等三角形仍然成立，故（1）的結(jié)論也成立．
分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B、∠CAF都是60°，可證得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度數(shù)是定值，不會(huì)改變．
（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面積相等，因此四邊形AECF的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積，因此當(dāng)E、F分別在線段AB、AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF的面積不變．
（3）同（1）可證得△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；連接EF，由（1）（3）的全等三角形，易知CE=CF，且∠ECF=60°，因此△ECF是等邊三角形，那么∠EFC=60°，然后根據(jù)平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理，證得∠AFE=∠FCD，進(jìn)而可求得∠ACE相等的角是：∠ACE=∠AFE=∠FCD．
（4）由于當(dāng)E、F分別在BA、AD延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的結(jié)論是成立的．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度適中．