Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由∠A=∠ADO，進(jìn)而證得∠ADO+∠CDB=90°，而證得BD⊥OD；
（2）連接DE，由AE是直徑，得到∠ADE=90°，然后利用已知條件可以證明DE∥BC，從而得到△ADE∽△ACB，接著利用相似三角形的性質(zhì)得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中點，由此可以求出DE的長度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，設(shè)AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解決問題．
解答：解：（1）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，
∴BD是⊙O切線；

（2）
連接DE，…（7分）
∵AE是直徑，
∴∠ADE=90°，…（8分）
又∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，…（9分）
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中點，
∴AD=AC，
∴DE=BC，
∵BC=6，∴DE=3，…（11分）
∵AD：AE=4：5，
在直角△ADE中，設(shè)AD=4x，AE=5x，
那么DE=3x，
∴x=1
∴AE=5．
點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及推論、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OD、DE，證明DE∥BC．