Question

如圖，在矩形ABCD中，點F在CB的延長線上，AE=EF，CF=CA，求證：BE⊥DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線；證明△EAB≌△EBC，得到∠AED=∠BEC（設(shè)為α）；證明CE⊥AF，得到∠BED=∠BEC+∠DEC=α+∠DEC=90°，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接CE；∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC，∠ABF=90°；∠ABC=∠BAD；
∵AE=EF，
∴BE為△ABF斜邊上的中線，
∴EA=EB，∠EAB=∠EBA，
∴∠EAB=∠EBC；在△EAB與△EBC中，

EA=EB ∠EAD=∠EBC AD=BC

，
∴△EAB≌△EBC（SAS），
∴∠AED=∠BEC（設(shè)為α），
∵CA=CF，AE=EF，
∴CE⊥AF，
∴∠CEA=∠DEC+α=90°，
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=α+∠DEC=90°，
∴BE⊥DE．

點評：該題以矩形為載體，以全等三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用全等三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等幾何知識來分析、判斷、解答．