Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB的中點，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長線于E．求證：BC垂直且平分DE．

Answer 1

證明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，
∴∠DAH=∠DCA，
∵∠BAC=90°，BE∥AC，
∴∠CAD=∠ABE=90°．
又∵AB=CA，
∴在△ABE與△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（ASA），
∴AD=BE，
又∵AD=BD，
∴BD=BE，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，
故∠ABC=45°．
∵BE∥AC，
∴∠EBD=90°，∠EBF=90°-45°=45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP=EP，
即可得出BC垂直且平分DE．
分析：證明出△DBP≌△EBP，即可證明BC垂直且平分DE．
點評：此題關鍵在于轉(zhuǎn)化為證明出△DBP≌△EBP．通過利用圖中所給信息，證明出兩三角形相似，
而證明相似可以通過證明角相等和線段相等來實現(xiàn)．