Question

△ABC中，點O是AC上一動點，過點O作直線MN∥BC，若MN交∠BCA的平分線于點E，交∠DCA的平分線于點F，連接AE、AF．
（1）說明：OE=OF；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF為正方形．

Answer 1

分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結(jié)論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解答：（1）證明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；

（2）解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形；

（3）解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點評：此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識．解題的關(guān)鍵是由已知得出EO=FO，然后根據(jù)（1）的結(jié)論確定（2）（3）的條件．