Question

如圖，△ABC，A（，0），B（3，4），將△ABO沿著直線OB翻折，點(diǎn)A落在第二象限內(nèi)的點(diǎn)C處
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)以5個單位，秒的速度沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接AP，將射線AP繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)與y軸交于一點(diǎn)Q，且旋轉(zhuǎn)角α=∠OAB．設(shè)線段0Q的長為d，點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，求d與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出時間t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接CP，點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此時t的值，并判斷點(diǎn)B與以點(diǎn)P為圓心，0Q長為半徑的⊙P的位置關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（，0），B（3，4），
∴OA=，AB==；
又∵將△ABO沿著直線OB翻折，點(diǎn)A落在第二象限內(nèi)的點(diǎn)C處，
∴OA=OC，AB=CB；
∴，
解得，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-，4）；

（2）如圖1，連接AC，過點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵A（，0），B（3，4），
∴OA=，OG=3，BG=4，
∴AG=，
∴AC=（勾股定理）；
∴AE=；
同理，OE=；
①當(dāng)0≤t＜時，
∵OP=5t，
∴PE=-5t，
∴=，
∴d=-t+；
②當(dāng)≤t≤1時，同理：d=t-；

（3）如圖2，過點(diǎn)P作PK⊥AB于點(diǎn)K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF===；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=-5t，PB=5-5t，
∴=，
解得，t=，
∴存在CP∥AQ，此時t=；
∵＜≤1，
∴t=時，OQ=d=t-=，BP=OB-OP=5-5t=5-×5=，
∴BP=OQ，即點(diǎn)B與圓心P的距離等于⊙P的半徑，點(diǎn)B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此時t=，且點(diǎn)B在⊙P上．
分析：（1）設(shè)C（x，y）．利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接AC，過點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．需要分類討論：當(dāng)0≤t＜與≤t≤1時，兩種情況下的d與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出時間t的取值范圍）；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PK⊥AB于點(diǎn)K．假設(shè)存在CP∥AQ，利用平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PE=PK；然后根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系可以求得此時的t的值；
欲判斷點(diǎn)B與以點(diǎn)P為圓心，0Q長為半徑的⊙P的位置關(guān)系，只需證明點(diǎn)B與圓心P的距離是否等于⊙P的半徑即可．
點(diǎn)評：本題綜合考查了翻折變換、勾股定理、菱形的性質(zhì)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)．注意，解答（2）時，要分類討論，以防漏解．