如圖,正方形ABCD中,AC為對角線,E、F分別是邊AB、AD上的兩點,且CE=CF.
(1)求證:AE=AF;
(2)若tan∠ACF=,求tan∠BCE的值.

【答案】分析:(1)先證出△EBC≌△EFC,再證出△AFC≌△AEC,即可證出AE=AF;
(2)作EG⊥AC,構(gòu)造直角三角形,設(shè)出EG的長,再根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出△EBC的各邊長.
解答:解:(1)在Rt△EBC和Rt△FDC中,
CE=CF,CD=CB,
所以△EBC≌△EFC,
所以∠BEC=∠DFC,
所以∠AEC=180°-∠BEC,
∠AFC=180°-∠DFC,
于是∠AEC=∠AFC,
又因為∠EAC=∠FAC,AC=AC,
所以△AFC≌△AEC,
所以AE=AF.

(2)連接BG.
設(shè)EG=x,則AG=x.
因為∠ACF=∠ACE,
所以tan∠ACF=tan∠ACE=,
所以GC=2x,
AC=x+2x=3x.
根據(jù)勾股定理,AE==x,
AB=BC=AC•cos45°=3x•=x.
故EB=AB-AE=x-x=x.
則tan∠BCE===
點評:此題考查了正方形的性質(zhì)、解直角三角形和勾股定理等知識,綜合性較強(qiáng),作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
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2
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cm2

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