Question

已知A、B、C是銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，滿足關(guān)系式4sin²C+4cosC=5，且關(guān)于x的二次方程x2-2xsinC+

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sin2A=0有兩個相等的實數(shù)根，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的關(guān)系得到sin²C+cos²C=1，則4（1-cos²C）+4cosC=5，解得cosC=

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，所以∠C=60°；再根據(jù)判別式的意義得到△=4sin²C-4×

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sin²A=0，解得sinA=

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，
則銳角A=45°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠B．

解答：解：∵sin²C+cos²C=1
∴4（1-cos²C）+4cosC=5，
整理得（2cosC-1）²=0，
∴2cosC-1=0，即cosC=

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2

，
而∠C為銳角，
∴∠C=60°，
∴sinC=

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∵關(guān)于x的二次方程x2-2xsinC+

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2

sin2A=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=4sin²C-4×

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2

sin²A=0，
∴sinA=

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2

，
∴銳角A=45°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=75°．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了銳角三角函數(shù)的關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值．