Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．

(1)求梯形ABCD的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值．

(3)試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分別過D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H．　1分 　　∵AB∥CD， 　　∴DG＝CH，DG∥CH． 　　∴四邊形DGHC為矩形，GH＝CD＝1． 　　∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°， 　　∴△AGD≌△BHC(HL)． 　　∴AG＝BH＝＝3．　2分 　　∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， 　　∴DG＝4． 　　∴．　3分 　　(2)∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， 　　∴ME＝NF，ME∥NF． 　　∴四邊形MEFN為矩形． 　　∵AB∥CD，AD＝BC， 　　∴∠A＝∠B． 　　∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， 　　∴△MEA≌△NFB(AAS)． 　　∴AE＝BF．　4分 　　設(shè)AE＝x，則EF＝7－2x．　5分 　　∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， 　　∴△MEA∽△DGA． 　　∴． 　　∴ME＝．　6分 　　∴．　8分 　　當(dāng)x＝時(shí)，ME＝＜4，∴四邊形MEFN面積的最大值為．　9分 　　(3)能．　10分 　　由(2)可知，設(shè)AE＝x，則EF＝7－2x，ME＝． 　　若四邊形MEFN為正方形，則ME＝EF． 　　即7－2x．解，得．　11分 　　∴EF＝＜4． 　　∴四邊形MEFN能為正方形，其面積為．