【題目】(12分)菱形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點E,射線ON交邊DC于點F,連接EF.
(1)如圖1,當∠ABC=90°時,△OEF的形狀是 ;
(2)如圖2,當∠ABC=60°時,請判斷△OEF的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點移到AO的中點O′處,∠MO′N繞點O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點E,射線O′N交直線CD于點F,當BC=4,且時,直接寫出線段CE的長.
【答案】(1)△OEF是等腰直角三角形;(2)△OEF是等邊三角形;(3)或.
【解析】
試題分析:(1)先證四邊形ABCD是正方形,得出∠EBO=∠FCO=45°,OB=OC,得出∠BOE=∠COF,進一步得到△BOE≌△COF,從而得到結(jié)論;
(2)過O點作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,求得OG=OH,∠BCD=120°,∠GOH=∠EOF=60°,進一步得出∠EOG=∠FOH,得出△EOG≌△FOH,從而得到結(jié)論;
(3)過O點作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,先求得四邊形O′GCH是正方形,從而求得GC=O′G=3,∠GO′H=90°,得到△EO′G ≌△FO′H全等,得到△O′EF是等腰直角三角形,根據(jù)已知求得等腰直角三角形的直角邊O′E的長,然后根據(jù)勾股定理求得EG,即可求得CE的長.
試題解析:(1)△OEF是等腰直角三角形;如圖1,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∠BCD=90°,∠EBO=∠FCO=45°,∴∠BOE+∠COE=90°,∵∠MON+∠BCD=180°,∴∠MON=90°,∴∠COF+∠COE=90°,∴∠BOE=∠COF,在△BOE與△COF中,∵∠BOE=∠COF,OB=OC,∠EBO=∠FCO,∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形;
(2)△OEF是等邊三角形;如圖2,過O點作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,∵四邊形ABCD是菱形,∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,∴∠GOH+∠BCD=180°,∴∠MON+∠BCD=180°,∴∠GOH=∠EOF=60°,∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,∴∠EOG=∠FOH,在△EOG與△FOH中,∵∠EOG=∠FOH,OG=OH,∠EGO=∠FHO,∴△EOG≌△FOH(ASA),∴OE=OF,∴△OEF是等邊三角形;
(3)如圖3,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴,過O點作O′G⊥BC于G,作O′H⊥CD于H,∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°,∴四邊形O′GCH是矩形,∴O′G∥AB,O′H∥AD,∴,∵AB=BC=CD=AD=4,∴O′G=O′H=3,∴四邊形O′GCH是正方形,∴GC=O′G=3,∠GO′H=90°,∵∠MO′N+∠BCD=180°,∴∠EO′F=90°,∴∠EO′F=∠GO′H=90°,∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H,∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G,∴∠EO′G=∠FO′H,在△EO′G與△FO′H中,∵∠EO′G=∠FO′H,O′G= O′H,∠EG O′=∠FH O′,∴△EO′G≌△FO′H(ASA),∴O′E=O′F,∴△O′EF是等腰直角三角形;∵S正方形ABCD=4×4=16,,∴S△O′EF=18,∵S△O′EF=,∴O′E=6,在RT△O′EG中,EG===,∴CE=CG+EG=.根據(jù)對稱性可知,當∠M′ON′旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時,CE′=E′G﹣CG=.
綜上可得,線段CE的長為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,直線AB交x軸于點A,交y軸于點B,AB=,tan∠BAO=3.
(1)求直線AB的解析式;
(2)直線y=kx+b經(jīng)過點B交x軸交于點C,且∠ABC=45°,AD⊥BC于點D.動點P從點C出發(fā),沿CB方向以每秒個單位長度的速度向終點B運動,運動時間為t,設(shè)△ADP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,點P在線段BD上,點F在線段AB上,∠APC=∠FPB,連接AP,過點F作FG⊥AP于點G,交AD于點H,若DP=DH,求點P的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,經(jīng)過點A的雙曲線y=(x>0)同時經(jīng)過點B,且點A在點B的左側(cè),點A的橫坐標為,∠AOB=∠OBA=45°,則k的值為 .
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,BA=5,點D是邊AC上的一動點,過點D作DE∥AB交邊BC于點E,過點B作BF⊥BC交DE的延長線于點F,分別以DE,EF為對角線畫矩形CDGE和矩形HEBF,則在D從A到C的運動過程中,當矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小時,AD的長度為______.
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【題目】商場某種新商品每件進價是120元,在試銷期間發(fā)現(xiàn),當每件商品售價為130元時,每天可銷售70件,當每件商品售價高于130元時,每漲價1元,日銷售量就減少1件.據(jù)此規(guī)律,請回答:
(1)當每件商品售價定為170元時,每天可銷售多少件商品?商場獲得的日盈利是多少?
(2)在上述條件不變,商品銷售正常的情況下,每件商品的銷售價定為多少元時,商場日盈利可達到1600元?
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【題目】如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一點,∠APB=135 , BP=1,AP=,求PC的值( )
A. B. 3 C. D. 2
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【題目】服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了迎接“六一”兒童節(jié),商場決定采取適當?shù)慕祪r措施,擴大銷售量,增加盈利,減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件童裝每降價4元,那么平均每天就可多售出8件,要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元,那么每件童裝應(yīng)降價多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形 AOBC 中,AC∥OB,且 OB=6,AC=5,OA=4.
(1)求 B、C 兩點的坐標;
(2)以 O、A、B、C 中的三點為頂點可組成哪幾個不同的三角形?
(3)是否在邊 AC 和 BC(含端點)上分別存在點 M 和點 N,使得△MON 的面積最大時,它的周長還最短?若存在,說明理由,并求出這時點 M、N 的坐標;若不存在,為什么?
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