Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P₂₀₁₁的坐標(biāo)為（ ）

A．（-2²⁰¹¹，0）
B．
C．（0，-2²⁰¹¹）
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)伸長(zhǎng)的變化規(guī)律求出OP₂₀₁₁的長(zhǎng)度，再根據(jù)每8次變化為一個(gè)循環(huán)組，求出點(diǎn)P₂₀₁₁是第幾組第幾次的變化，然后確定出所在的象限，再根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍解答即可．
解答：解：由題意可得，OP=1，OP₁=2×1=2，
OP₂=2×2=2²，
OP₃=2×2²=2³，
OP₄=2×2³=2⁴，
…
OP₂₀₁₁=2×2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹，
∵每一次都旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°=8，
∴每8次變化為一個(gè)循環(huán)組，
2011÷8=251…3，
∴點(diǎn)P₂₀₁₁是第252組的第三次變換對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，與點(diǎn)P₃在同一象限，都在第二象限的平分線上，
∵×2²⁰¹¹=•2²⁰¹⁰，
∴點(diǎn)P₂₀₁₁的坐標(biāo)為（-•2²⁰¹⁰，•2²⁰¹⁰）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律探尋，讀懂題意，需要從伸長(zhǎng)的變化規(guī)律求出OP₂₀₁₁的長(zhǎng)度，從旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律求出點(diǎn)P₂₀₁₁所在的象限兩個(gè)方面考慮求解．