Question

如圖：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，對角線AC平分∠BCD，AE∥DC；
（1）試說明四邊形AECD的形狀，并說明理由；
（2）梯形ABCD的周長為20cm，試求BC的長．

Answer 1

解：（1）四邊形AECD是菱形．
理由如下：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∴?AECD是菱形，
即四邊形AECD是菱形；

（2）設(shè)菱形AECD的邊長為x，
則AE=AB=CE=x，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE=x，
∴梯形ABCD的周長=x+（x+x）+x+x=20，
∴x=4cm，
BC=BE+CE=x+x=4+4=8cm．
分析：（1）先求出四邊形AECD是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ACB=∠ACD，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ACB=∠CAD，然后求出∠ACD=∠CAD，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出AD=CD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；
（2）根據(jù)設(shè)菱形AECD的邊長為x，再求出△ABE是等邊三角形，然后求出AB=BE=x，再根據(jù)梯形的周長列式求出x，再求出BC即可．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各圖形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．