Question

【題目】本題滿分11分．

如圖，已知直線y=-x +3分別與x、y軸交于點(diǎn)A和B．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）求原點(diǎn)O到直線l的距離；

（3）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）、B（0，3）（2）（3）M（0，）或 M（0，）

【解析】

（1）根據(jù)x軸、y軸上的點(diǎn)的特點(diǎn)可以直接求解；

（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)，因此過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，然后根據(jù)三角形的面積法可求得距離；

（3）過M作MD⊥AB交AB于點(diǎn)D，然后可通過三角形相似可直接結(jié)果，但是由于M點(diǎn)在y軸上移動(dòng)，因此可知在直線的上方和下方都會(huì)相切，因此分兩種情況討論求解．

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3

∴B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）

當(dāng)y=0時(shí)，有0=-x + 3，

解得x=4

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）

（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，

則OC長(zhǎng)為原點(diǎn)O到直線l的距離

在Rt△BOA中，0A=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，

∵S△BOA=OB×OA=AB×OC

∴OC==

∴原點(diǎn)O到直線l的距離為

（3）

過M作MD⊥AB交AB于點(diǎn)D，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，MD=2，

在△BOA和△BDM中，

∵∠OBA=∠DBM，∠BOA=∠BDM

∴△BOA∽△BDM

∴=，

∴BM==

∴ OM=OB–BM=

或OM=OB+ BM=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（0，）或 M（0，）