Question

（2013•永修縣模擬）在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，直線EF過點(diǎn)O，分別交AD、BC于E、F，如圖①
（1）求證：AE=CF；
（2）將圖①中?ABCD沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A落在A₁處，點(diǎn)B落在B₁處，如圖②設(shè)FB₁交CD于點(diǎn)G，A₁B₁分別交CD、DE于點(diǎn)P、Q，求證：EQ=FG．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△AOE≌△COF，則可得AE=CF；
（2）由折疊的性質(zhì)，易證得△EQA₁≌△FGC，則可得EQ=FG．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=OC，
在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO ∠AEO=∠CFO OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，

（2）由折疊的性質(zhì)可得：AE=A₁E，
∵AE=CF，
∴A₁E=CF，
又∵∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
∴∠EQA₁=∠DQP=180°-∠D-∠DPQ=180°-∠B₁-∠DPQ=∠B₁GP=∠FGC，
在△EQA₁和△FGC中，

∠A1=∠C ∠EQA1=∠FGC A1E=CF

，
∴△EQA₁≌△FGC（AAS），
∴EQ=FG．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．