Question

（2013•下關(guān)區(qū)一模）在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)O在線段AD上．

（1）如圖1，連接OB、OC，求證：△BDO≌△CDO；
（2）已知⊙O與直線AB、AC都相切，切點(diǎn)分別為E、F，當(dāng)AD=12，CD=5，OD=

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3

時(shí)，求證：⊙O與直線BC相切．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC，AD是BC邊上的高得到BD=CD，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BDO≌△CDO；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出AC=13，再計(jì)算出OA=

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，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥AC，易證△OAF∽△CAD，則OF：CD=OA：AC，即OF：5=

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3

：13，可計(jì)算出OF=

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，
于是有OD=OF，而OD⊥BC，根據(jù)切線的判定方法即可得到⊙O與直線BC相切．

解答：證明：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的高，
∴BD=CD，∠ODB=∠ODC=90°，
在△OBD和△OCD

OD=OD ∠ODB=∠ODC DB=DC

，
∴△BDO≌△CDO（SAS）；
（2）如圖，
∵AD=12，CD=5，OD=

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，
∴AC=

AD2+DC2

=

122+52

=13，OA=AD-OD=12-

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=

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，
∵⊙O與直線AC相切于F，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO=90°，
而∠OAF=∠CAD，
∴△OAF∽△CAD，
∴OF：CD=OA：AC，即OF：5=

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：13，
∴OF=

10

3

，
∴OD=OF，
而OD⊥BC，
∴⊙O與直線BC相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)．