Question

（2011•泰安）如圖，一次函數y=k₁x+b的圖象經過A（0，﹣2），B（1，0）兩點，與反比例函數的圖象在第一象限內的交點為M，若△OBM的面積為2．
（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥MP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵直線y=k₁x+b過A（0，﹣2），B（1，0）兩點
∴，
∴
∴已知函數的表達式為y=2x﹣2．（3分）
∴設M（m，n）作MD⊥x軸于點D
∵S_△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴將M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在雙曲線上，
∴，
∴k₂=12
∴反比例函數的表達式為
（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x軸上存在點P，使PM⊥AM，此時點P的坐標為（11，0）（10分）

解析