Question

如圖，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是M （0，-4），N（4，-4），點(diǎn)A是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=a（x-h）²+k和y軸交于點(diǎn)E，和直線x=4交于點(diǎn)F，和直線x=2交于點(diǎn)C，這里a＞0，且a為常數(shù)．直線EF和拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，和直線x=2交于點(diǎn)D．
（1）寫出k的值；
（2）求直線EF的函數(shù)表達(dá)式（表達(dá)式中可以含有a，h）；
（3）比較線段BA和CD的長(zhǎng)短．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是M （0，-4），N（4，-4），即可求得直線MN的解析式，則可求得拋物線頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，又由拋物線的頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k，即可求得k的值；
（2）由（1）求得拋物線的解析式，又由拋物線y=a（x-h）²+k和y軸交于點(diǎn)E，和直線x=4交于點(diǎn)F，即可求得點(diǎn)E與F的坐標(biāo)，然后設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，由待定系數(shù)法即可求得直線EF的函數(shù)表達(dá)式；
（3）由物線y=a（x-h）²+k和直線x=2交于點(diǎn)C，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由直線EF和拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，和直線x=2交于點(diǎn)D，即可求得點(diǎn)B與D的坐標(biāo)，繼而求得AB與CD的長(zhǎng)，再作差，由完全平方式的非負(fù)性，即可求得線段BA和CD的長(zhǎng)短關(guān)系．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是M （0，-4），N（4，-4），
∴直線MN的解析式為：y=-4，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4，
∵拋物線y=a（x-h）²+k的頂點(diǎn)為A，
∴k=-4；

（2）∴拋物線的解析式為：y=a（x-h）²-4，
∵拋物線y=a（x-h）²-4和y軸交于點(diǎn)E，和直線x=4交于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，ah²-4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，a（4-h）²-4），
設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，
∴

b=ah2-4 4k+b=a(4-h)2-4

，
解得：

b=ah2-4 k=4a-2ah

，
∴直線EF的函數(shù)表達(dá)式為：y=（4a-2ah）x+ah²-4；

（3）∵拋物線與直線x=2交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，a（2-h）²-4），
∵直線EF和拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，和直線x=2交于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（h，4ah-ah²-4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8a-4ah+ah²-4），
∴BA=4ah-ah²，CD=8a-4ah+ah²-4-[a（2-h）²-4]=4a，
∴CD-BA=4a-（4ah-ah²）=a（h²-4h+4）=a（h-2）²≥0，
∴BA≤CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了頂點(diǎn)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程的應(yīng)用．