已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,過點(diǎn)B的弦BD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D,垂足為E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=BD,且BD=12cm時(shí),求圖中陰影部分的面積(結(jié)果不取近似值).
分析:(1)連接OD,然后證明△OBC≌△ODC可得∠OBC=∠ODC,再根據(jù)AB為⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,可得∠OBC=∠ODC=90°,進(jìn)而得到CD是⊙O的切線;
(2)首先證明△BCD為等邊三角形,可得∠BCD=60°,進(jìn)而算出∠BOD的度數(shù),計(jì)算出∠OBD和BE、OE、OB的長(zhǎng),再根據(jù)S陰影部分=S扇形OBD-S△OBD即可算出答案.
解答:(1)證明:連接OD,
∵OC⊥BD,
∴DE=BE,
∵OB=OD,
∴∠BOC=∠DOC,
∵OC=OC,
在△OBC和△ODC中
OC=OC
∠BOC=∠DOC
DO=BO

∴△OBC≌△ODC(SAS),
∴∠OBC=∠ODC.
又∵AB為⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,
∴∠OBC=∠ODC=90°,
∴CD是⊙O的切線;

(2)∵△OBC≌△ODC,
∴BC=DC.
又DB=BC=12,
∴△BCD為等邊三角形.
∴∠BOD=360°-90°-90°-60°=120°,∠OBE=90°-60°=30°,BE=6.
∴OE=BE•tan30°=2
3
,OB=2OE=4
3
,
∴S陰影部分=S扇形OBD-S△OBD=
120•π•(4
3
)2
360
-
1
2
×12×2
3
=16л-12
3
(cm2).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),以及扇形的面積計(jì)算,關(guān)鍵是掌握切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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22、已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是和⊙O相切于點(diǎn)B的切線,⊙O的弦AD平行于OC.
求證:DC是⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•門頭溝區(qū)一模)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,M為AB上一點(diǎn),過點(diǎn)M作DM⊥AB,交弦AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,且DC=DE.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半徑的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1997•昆明)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,直線MN切⊙O于點(diǎn)C,AD⊥MN于D,AD交⊙O于E,AB的延長(zhǎng)線交MN于點(diǎn)P.求證:AC2=AE•AP.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•平谷區(qū)二模)已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E是
AD
的中點(diǎn),連接BE交AC于點(diǎn)G,BG的垂直平分線CF交BG于H交AB于F點(diǎn).
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的長(zhǎng).

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